確率の数式・記号について

機械学習を学習するのに、確率論の知識が必要になる場面が多々あります。
なので、機械学習の記事を投稿する前に、確率論について記述します。

・数式の表記について
確率論や機械学習に限らず、数学では様々な記号を用いて数式にします。
今回は確率論でよく使われる数式と記号を、例を基に紹介します。

 

例題1
コインを投げて「表」がでる確率は\( p\)(\(0<p<1)\) 。

 

上記の例題を数学記号を用いて表現すると

\begin{eqnarray*}
P(X = 1) = p ,  X = \begin{cases} 1 \ (コインを投げて「表」がでる) \\
0 \ (コインを投げて「裏」がでる)\end{cases}
\end{eqnarray*}

となります。
\( X\)は確率変数と呼ばれます。そして、\( P(X = 1)\)は\( X = 1\)になる(コインが表になる)確率を表します確率変数とは「結果によってその値をとる確率が定まる変数」のことです。例題の場合は、コインを投げて表がでるか裏がでるかどうかが確率変数になります。

次に、もう少し難しい例を数式で表現します。

例題2
「例題1」のコインを2回投げて、1回目に表、2回目に裏がでる確率は\(\ p(1-p)\ \) 。

 

上記の例題を数学記号を用いて表現すると

\begin{eqnarray*}
P(X_{1} = 1,\ X_{2} = 0 ) = p(1-p) ,X_{i} = \begin{cases} 1 \ (i回目に「表」がでる) \\
0 \ (i回目に「裏」がでる)\end{cases}
\end{eqnarray*}

となります。
このような、複数の出来事(事象)が同時に起こる確率のことを同時確率を言います。事象\(1\)と事象\(2\)が同時に起こる確率は\(P(事象1,\ 事象2 )\)と表記します。機械学習では様々な事象が同時に起こる場合を考えることが多々あります。このような表記にも慣れましょう。

最後に条件付き確率について例を用いて説明します。

例題3
「例題1」のコインを2回投げて、1回目に表がでたとき、2回目に裏がでる確率は\(\ 1-p\) 。

 

上記の例題を数学記号を用いて表現すると

\begin{eqnarray*}
P(X_{2} = 0 \ |\  X_{1} = 1 ) = 1-p ,X_{i} = \begin{cases} 1 \ (i回目に「表」がでる) \\
0 \ (i回目に「裏」がでる)\end{cases}
\end{eqnarray*}

となります。
「\(1\)回目に投げたコインが表だったとき」は条件(原因)、「\(2\)回目に裏がでる」は結果です。それを数式で表すと\(P(結果\ |\ 条件)\)と表記します。例題\(3\)はコイン投げの問題なので「過去に投げた結果は次に投げるコインの結果に影響しない」ことが言えます(\(1\)回目になにがでようが\(2\)回目の結果に関係ない)。なので、単純に裏のでる確率(\(1-p\))となります。

この記事のまとめは以下の通りです。

本記事のまとめ
・確率変数は「結果によってその値をとる確率が定まる変数」のこと
・同時確率は\(P(事象1,\ 事象2 )\)と表記する
・条件付き確率は\(P(結果\ |\ 条件)\)と表記する

 

次回は「乗法定理」と「全確率の公式」についての記事を投稿します。

 

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