乗法定理と全確率の公式について

乗法定理と全確率の公式について説明します。これらは確率の式変形を行うときによく使用される定理です。特にベイズの定理を用いる手法で使用されます。ベイズの定理を用いる手法は主に以下の通りです。

  • ナイーブベイズ
  • ベイジアンネットワーク
  • ベイズ統計

乗法定理

乗法定理は以下の通りです。

乗法定理
\begin{eqnarray*}
&& P(X_{1}, X_{2},\cdots,X_{n-2},X_{n-1}, X_{n}) \\
&=& P(X_{n}|X_{n-1},\cdots,X_{2},X_{1})P(X_{n-1}|X_{n-2},\cdots,X_{2},X_{1})P(X_{2}|X{1})P(X{1})
\end{eqnarray*}

全確率の公式

全確率の公式は以下の通りです。

全確率の公式
\begin{eqnarray*}
P(X)&=& \sum_{i}P(X,Y_{i}) \\
&=& \sum_{i}P(X|Y_{i})P(Y_{i})
\end{eqnarray*}







本来は定理の証明も記述したいのですが、時間がないので後日編集します。

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