同時確率と条件付き確率、独立について

データ分析や機械学習を行う場合、必ず複数の事象が「同時」に発生する確率や、ある事象Aが発生した「時に」事象Bが発生する確率を求めることが多々あります。なので今回は「同時確率」と「条件付き確率」について解説します。

同時確率

同時確率は「確率の数式・記号について」で述べましたが、複数の事象が同時に起こる確率のことを指します。例えば、二つのサイコロを投げて、両方とも1の目がでる確率は同時確率です。
二つのサイコロを「サイコロ1」、「サイコロ2」と名付けて、それぞれの出る目を\( X_{1} \)、\( X_{2} \)とします。両方とも1の目がでる確率の数式は以下の通りです。

同時確率
二つのサイコロの出る目を\( X_{1} \)、\( X_{2} \)とします。両方とも1の目がでる確率は
\begin{eqnarray*}
&& P(X_{1}\ = \ 1,\ X_{2}\ = \ 1)\ = \ \cfrac{1}{36}
\end{eqnarray*}



独立と同時確率

又、二つサイコロの出る目は互いの出る目に影響しません。このような事象たちを「互いに独立」と言います。互いに独立の事象の同時確率は「積に分解」することができます。数式で表すと下記の通りです。

独立と同時確率
二つのサイコロの出る目を\( X_{1} \)、\( X_{2} \)とします。両方とも1の目がでる確率は
\begin{eqnarray*}
&& P(X_{1}\ = \ 1,\ X_{2}\ = \ 1) \\
&=& P(X_{1} \ = \ 1) \ \dot \ P(X_{2} \ = \ 1) \\
&=& \cfrac{1}{6} \ \dot \ \cfrac{1}{6} \\
&=& \cfrac{1}{36}
\end{eqnarray*}



データから推定した同時確率とそれぞれの確率の積が一致することは殆どありません(推定した確率が真の確率と異なる為)。しかし、独立と見なせると計算が楽になります。なので、データ分析等で複数の事象の同時確率を推定する場合は独立であるかどうか意識してみましょう。

条件付き確率

条件付き確率はある事象が発生した時、別の事象が起こる確率のことです。「確率の数式・記号について」ではコイン投げを用いて解説しました。その他の例は「雨が降ったときに交通事故が起こる確率」や「DMを送った顧客が購買する確率」、ソーシャルゲームだと「イベントに参加したユーザーがガチャに課金する確率」です。条件付き確率の定義は下記の通りです。

条件付き確率
事象Bが起こるときに事象がAが起こる確率は
\begin{eqnarray*}
P(A|B) \ = \ \cfrac{P(A,\ B)}{P(B)}
\end{eqnarray*}



下図を用いて解説します。

全員で10人いるとします。その中でAに属する人数が3人、Bに属する人数が4人、AとBの両方に属する人数が2人、AとBのどちらでもない人数が2人とします。所属確率は以下の通りです。

\begin{eqnarray*}
P(A) \ &=& \ \cfrac{3}{10} \\
P(B) \ &=& \ \cfrac{4}{10} \\
P(A,\ B) \ &=& \ \cfrac{2}{10}
\end{eqnarray*}

このとき、所属Bの人がAに属する確率は図を用いて計算すると以下の通りです。

\begin{eqnarray*}
P(A|B) \ = \ \cfrac{2}{4}
\end{eqnarray*}

所属Bの人がAに属する確率を先程紹介した条件付き確率に当てはめると図を用いて計算した結果を等しくなります。

\begin{eqnarray*}
P(A|B) \ &=& \ \cfrac{P(A,\ B)}{P(B)} \\
&=& \ \cfrac{\cfrac{2}{10}}{\cfrac{4}{10}} \\
&=& \ \cfrac{2}{4}
\end{eqnarray*}

独立と条件付き確率

互いに独立な事象が因果関係の場合、同時確率と同様、計算が楽になります。「確率の数式・記号について」でも紹介している例で解説します。

独立と条件付き確率
表の出る確率が\( p \)のコインを2回投げて、1回目に表が出たとき、2回目に裏が出る確率は
\begin{eqnarray*}
P(X_{1}\ = \ 1 \ |X_{2}\ = \ 1) \ = \ 1-p
\end{eqnarray*}



コイン投げは過去に出た結果が影響しないので条件の結果がどんな結果でも2回目に裏が出る確率は\( 1-p \)となります。独立と見なせると計算が楽になりますので、データ分析等で因果関係が互いに独立であるか(因果関係が成り立たない)どうか意識してみましょう。

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コメント

  1. Skye より:

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